Формула Блэка-Шоулза для определения стоимости опциона и принятия инвестиционных решений

Опционы в том или ином виде существуют уже несколько веков. И все это время умные головы пытались изобрести формулу для их оценки.

Однако все оказывались в тупике, столкнувшись с невозможностью узнать конечную стоимость опционов.

Пока в 1973 году тремя американскими экономистами не была открыта знаменитая формула Блэка-Шоулза — один из лучших результатов финансовой математики.

Спектр ее использования широк и по сей день — это хеджирование или портфельная страховка, расчет стоимости фондовых опционов, адаптация модели к материальным объектам инвестирования. С помощью формулы трейдеры и инвесторы моделируют свою инвестиционную стратегию.

Подробнее о модели и ее применении для принятия решений – в статье.

Модель ценообразования Блэка–Шоулза

Модель ценообразования опционов Блэка–Шоулза (англ. Black–Scholes Option Pricing Model, OPM) — это модель, которая определяет теоретическую цену на европейские опционы, подразумевающая, что если базовый актив торгуется на рынке, то цена опциона на него неявным образом уже устанавливается самим рынком.

Данная модель получила широкое распространение на практике и, помимо всего прочего, может также использоваться для оценки всех производных бумаг, включая варранты, конвертируемые ценные бумаги, и даже для оценки собственного капитала финансово зависимых фирм.

Согласно Модели Блэка-Шоулза, ключевым элементом определения стоимости опциона является ожидаемая волатильность базового актива. В зависимости от колебания актива, цена на него возрастает или понижается, что прямопропорционально влияет на стоимость опциона. Таким образом, если известна стоимость опциона, то можно определить уровень волатильности, ожидаемой рынком.

Описание

В октябре 1997 года Нобелевская премия по экономике была присуждена Роберту Мертону (Robert Merton) и Майрону Шоулзу (Myron Scholes). Комитет по назначению лауреатов выдвинул для присуждения премии еще одного ученого, Фишера Блэка (Fisher Black), но его преждевременная смерть в 1995 г. в возрасте 57 лет помешала ему разделить эту честь.

Эти три человека считаются создателями математической формулы для вычисления стоимости опционов и других производных иструментов, которая оказала огромное влияние на развитие теории и практики финансов. Эта формула сегодня широко известна как формула Блэка-Шоулза (Black-Scholes option pricing formula).

Открытие данной формулы привело к повышенному интересу к производным инструментам и взрывному росту опционной торговли. Опубликование формулы Блэка-Шоулза в 1973 г. позволило отойти от субъективно-интуитивных оценок при определении цены опционов и подвести под него теоретическую базу, применимую и к другим производным инструментам.

Для начала 70-х сама идея использовать математический подход для оценки производных инструментов была революционна. Современное управление рисками, применяемое в страховании, торговле на фондовом рынке и инвестировании, основывается на возможности использовать математические методы для предсказания будущего.

Конечно, не со 100%-ной вероятностью, но достаточно точно для того, чтобы принять взвешенное инвестиционное решение. Основополагающий принцип работы на финансовых рынках состоит в следующем: чем больший риск вы готовы на себя принять, тем на большее вознаграждение вы вправе рассчитывать.

Использование математики никогда не сможет полностью элиминировать риск, но может помочь правильно оценить степень принимаемого на себя риска и решить вопрос о справедливом вознаграждении.

Шесть допущений теории

Чтобы вывести свою модель ценообразования опционов, Блэк и Шоулз сделали следующие предположения:

1. По базисному активу опциона call дивиденды не выплачиваются в течение всего срока действия опциона.
2. Нет транзакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акции или опциона.
3. Краткосрочная безрисковая процентная ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона.
4. Любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосрочной безрисковой ставке для оплаты любой части ее цены.
5. Короткая продажа разрешается без ограничений, и при этом продавец получит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценную бумагу по сегодняшней цене.
6. Торговля ценными бумагами (базовым активом) ведется непрерывно, и поведение их цены подчиняется модели геометрического броуновского движения с известными параметрами.

Вывод модели основывается на концепции безрискового хеджирования.

Покупая акции и одновременно продавая опционы call на эти акции, инвестор может конструировать безрисковую позицию, где прибыли по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборот.

Безрисковая хеджированная позиция должна приносить доход по ставке, равной безрисковой процентной ставке, в противном случае существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли. Инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности, приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который определяется моделью.

Формулы

Цена (европейского) опциона call:

Цена (европейского) опциона put:

Обозначения:

• C(S,t) — текущая стоимость опциона call в момент t до истечения срока опциона;
• S — текущая цена базисной акции;
• N(x) — вероятность того, что отклонение будет меньше в условиях стандартного нормального распределения
  (таким образом, и ограничивают область значений для функции стандартного нормального распределения).
  Для определения N(x) можно использовать таблицы для стандартной нормальной кривой или Excel-функцию HOPMCTPACП(x). Она возвращает стандартное нормальное интегральное распределение, которое имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице).
  
• K — цена исполнения опциона;
• r — безрисковая процентная ставка;
• T — t — время до истечения срока опциона (период опциона);
• σ — волатильность (квадратный корень из дисперсии) базисной акции.

«Греки»

Для характеристики чувствительности цены (премии) опциона к изменению тех или иных величин, применяют различные коэффициенты, называемые «греками». Название происходит от греческого алфавита, буквами которого обозначаются эти коэффициенты (за исключением «веги»).

«Греки» в рамках модели Блэка-Шоулза вычисляются явным образом:

Примечательно, что формулы гамма и вега одинаковы для опционов пут и колл, что является логическим выводом теории паритета опционов пут и колл.

Например, знание коэффициентов «дельта» Δ и «гамма» Γ позволяют оценить изменение цены (премии) опциона δc при изменении цены финансового инструмента δS, лежащего в основе опциона:

Эта формула получается при помощи разложения в ряд Тейлора цены опциона c(S). Аналогично, чем больше «тета», тем быстрее происходит временной распад опциона, и т.д.

Источник: "economicportal.ru"

Формула Блэка-Шоулза — новый принцип оценки капитальных вложений

Широко используемая в настоящее время для оценки капитальных вложений методология дисконтированного денежного потока имеет недостатки:

1. Оценка ожидаемых денежных потоков ложна, так как требуется большая точность в предсказании изменения цен на выпускаемую продукцию и потребляемые ресурсы на несколько лет вперед.

Ошибка велика как в вычислении будущих денежных потоков, так и при определении соответствующей без рисковой ставки процента.

2. Практическое использование принципа DCF крайне затруднено, когда проект включает один или несколько значительных операционных опционов.

Операционные опционы возникают, когда менеджмент может отложить принятие решения о характере операции до какого-либо момента в будущем, когда будет разрешена какая-нибудь значительная неопределенность. Подобные операционные опционы усложняют расчет ожидаемых денежных потоков, без рисковых процентных ставок из-за сложной структуры рисков.

3. Принцип дисконтированного денежного потока косвенно предполагает, что фирмы держат реальные активы пассивно. При его использовании не учитываются опционы, заложенные в реальных активах.

Но финансовый менеджер может активно использовать их, предпринимая действия для нивелирования потерь ПО проектам или реализовывая потенциальные новые возможности.

Американские ученые С. Мейсон, Р. Мертон и Е. Альтман предположили, что должен быть сформулирован новый принцип оценки капитальных вложений, включающий в себя теорию ценообразования опционов на финансовых рынках ее развитым математическим аппаратом.

Для этого необходимо провести аналогию между финансовыми опционами и операционными опционами, другими словами, представить инвестиционный проект как опционный контракт. Опционный контракт — документ, удостоверяющий право покупки или продажи товара, валюты или ценных бумаг по оговоренной цене.

Различают:

• европейский опцион, допускающий покупку или продажу в определенный день,
• американский опцион, допускающий покупку или продажу до определенного дня.

1. Контракт на покупку называется call-опционом,
2. на продажу — put-опционом.

Новый принцип оценки капитальных вложений сейчас находит на Западе все более широкое применение в практике анализа инвестиционных проектов в самых разных отраслях:

• горнодобывающая промышленность,
• добыча полезных ископаемых,
• перерабатывающая промышленность,
• машиностроение.

Модель Блэка-Шоулза разработана в 1973 г. для оценки премии европейских call-опционов на акции. В основу модели положена концепция формирования безрискового портфеля активов, динамика стоимости которых не зависит от динамики курса акций. Рассматривался портфель, состоящий из акций и опциона.

При построении модели учитывался ряд ограничений:

1. краткосрочные процентные ставки известны и постоянны в течение срока действия опциона;
2. краткосрочные кредитные и депозитные процентные одинаковы;
3. цена акции изменяется случайным образом с дисперсией, пропорциональной квадрату из цены акции, поэтому распределение возможных значений цен акций является логнормальным, дисперсия доходов по акциям постоянна;
4. не учитываются операционные расходы на покупку/продажу опциона и акций, а также налоги.

Условие, согласно которому доходность безрискового портфеля, состоящего из акций и опционов, равна безрисковой ставке процента в любой момент времени, описывается с помощью частного дифференциального уравнения, решением которого и является формула Блэка-Шоулза.

В соответствии с этой формулой стоимость европейского опциона call определяется разностью между ожидаемым взвешенным курсом базового актива и ожидаемой дисконтированной величиной цены использования (издержками) данного опциона:

где С — премия европейского call-опциона;
S — цена базового актива (цена акции по рыночным данным);
К — цена исполнения;
Т — время, оставшееся до момента исполнения опциона;
г — безрисковая процентная ставка;
s — стандартное отклонение цены базового актива;
N(d) — функция нормального распределения.

Для определения N(d) можно использовать таблицы для стандартной нормальной кривой или Excel-функцию HOPMCTPACII(d).

Она возвращает стандартное нормальное интегральное распределение, которое имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице.

Уравнение плотности стандартного нормального распределения имеет следующий вид:

где d — это значение, для которого строится распределение.

Пример. Требуется оценить call-опцион на акции с ценой исполнения 60 д. е. и остаточным периодом 3 месяца. Безрисковая процентная ставка — 12% годовых. Текущий курс акции — 59 д. е., волатильность курса акции — 20%. Стоимость этого опциона составляет 2,2058 д. е.

Если равновесная цена опциона больше рыночной, то инвестор может продать опцион; если меньше, то купить опцион.

Можно определить стоимость европейского put-опциона:

Формулы позволяют рассчитывать не только размеры премий, но и решать обратную задачу — подбирать цены исполнения или даты истечения контракта. Это дает возможность анализировать итоги торгов, приводя премии по разным видам опционов (call, put) и разным ценам исполнения к общему знаменателю.

Адаптация модели к материальным объектам инвестирования

Адаптация модели Блэка-Шоулза к материальным объектам инвестирования (земельные участки, месторождения, здания, сооружения, оборудование, технологии и др.) проявляется в трактовке и методах расчета соответствующих параметров модели.

Если фирма связана с разработкой месторождения, то трактовка параметров модели будет такова:
S — текущая стоимость разработанного месторождения;
К — затраты на разработку месторождения;
Т — срок, отведенный на разработку месторождения;
s — стандартное отклонение стоимости разработанного месторождения;
г — безрисковая проектная ставка;
N(d) — функция нормального распределения.

Пример. Предположим, что существует нефтяное месторождение со следующими параметрами:

• объемместорождения до 100 млн баррелей в год;
• текущая стоимость затрат на разработку составляет 11,79 у. е. за один баррель;
• временной разрыв между добычей и разработкой составляет 3 года;
• срок на разработку составляет 10 лет;
• ожидаемое стандартное отклонение 14,2%;
• коэффициент выплаты прибыли (отношение суммы выплачиваемых дивидендов к объему чистой прибыли) составляет 4,1%;
• стоимость разработанного месторождения в настоящее время составляет 12 у. е. за одни баррель.

Используя формулу, с учетом новой трактовки переменных рассчитаем значения цены опциона на разработку месторождения в расчете 1 у. е. затрат на разработку при различных значениях параметров V/D, s, Т.

Результаты расчета представлены в таблице:

Первоначально рассчитывают текущую стоимость разработанного месторождения V = 12/(1 + 0,041) = 10,61 у. е.

Далее рассчитывают коэффициент С = V/D,

где V — текущая стоимость разработанного месторождения, полученного после ожидавшегося временного разрыва;
D — затраты на разработку месторождения.

Отсюда С = 10,61/11,79 = 0,90.

Теперь определяют стоимость неразработанного месторождения DV, используя рассчитанные значения из таблицы.

Для Т = 10 лет, s = 14,2% имеем: DV = 0,0524 х 11,79 х 100 000 000 = 61 838 550 у. е.

Смысл полученного результата состоит в том, что право разрабатывать месторождение в будущем в настоящее время имеет положительную стоимость DV = 61 млн. у. е.

В основе любого инвестиционного проекта лежат три важных реальных опциона:

1. опцион на продолжение инвестиций,
2. опцион на отказ от проекта,
3. опцион на выжидание (и анализ ситуации), прежде чем инвестировать.

Эти опционы позволяют менеджерам увеличивать стоимость бизнеса, расширяя его возможности или уменьшая потери.

Опцион на продолжение инвестиций

Опцион на продолжение инвестиций означает, что проект помимо потоков денежных средств непосредственно от самого проекта порождает опцион call на последующие проекты, т. е. реализация проекта сегодня порождает благоприятные инвестиционные возможности на завтра (а это и есть опционный контракт).

Пример. Пусть разрабатываемый проект характеризуется следующими параметрами:

• решение об инвестировании проекта может быть принято через 2 года;
• объем инвестиций в проект (цена исполнения) составляет 2 млн у. е.;
• приведенная стоимость прогнозируемых денежных потоков составляет 16 млн у. е.;
• будущей стоимости потоков денежных средств от проекта свойственна высокая неопределенность. Поведение этой стоимости подобно поведению цен на акции со стандартным отклонением 70% в год;
• безрисковая ставка составляет 55% годовых.

Потоки денежных средств и финансовый анализ эффективности вложений по принципу дисконтированного денежного потока представлены в таблице:

Для определения возможности инвестирования в последующие проекты определяют стоимость опциона call по формуле Блэка-Шоулза: С = 4285,1 тыс. у. е.

Таким образом, стоимость проекта равна его собственной чистой приведенной стоимости (4078,7) и стоимости связанного с ним опциона call (4285,1), что в итоге дает 8363,8 тыс. у. е.

Если на рынке события развиваются в неблагоприятном направлении, то проект можно отменить, т. е. продать активы проекта по их рыночной цене. В этом случае необходимо оценить опцион на прекращение бизнеса.

Опцион на прекращение бизнеса

Для этой оценки Д. Кенсингер модифицировал модель Блэка-Шоулза. Смысл предложенного им подхода состоит в том, что возможность (опцион) ухода из инвестиционного проекта (сокращение убытков и возмещение части первоначальных инвестиций путем продажи части активов) рассматривается подобно владению страховым полисом, по которому производятся выплаты, если проект обеспечивает результат ниже номинала.

Цена этого полиса определяется как сумма чисто дисконтированной стоимости и стоимости опциона. Рассмотрим подход к оценке опциона на отказ на примере одного из инвестиционных проектов фирмы — приобретение установки.

Пример. Фирма рассматривает возможность покупки новой установки стоимостью 120 000 у. е. По оценке отдела маркетинга и сбыта, стоимость бизнеса может либо вырасти на 33% с вероятностью 0,6, либо уменьшиться на 25% с вероятностью 0,4. Возможные результаты приобретения показаны на рисунке:

Ожидаемый поток денежных средств по инвестиционному проекту составит 0,6 х 150 000 + 0,4 х 70 000 = 118 000 у. е.

Приведенная стоимость проекта равна 118000 / (1 + 0,16) = 101724 у. е. Таким образом, чистая приведенная стоимость составляет: 101 724 — 120 000 = -18 276 у. е.

Приведенные расчеты не включают возможность отказа от бизнеса. Так как вероятность неудачного развития событий на рынке достаточно высока, то можно предположить, что лучше заранее продать оборудование стоимостью 120 000 у. е., чем продолжать бизнес, стоимость которого может составить 70 000 у. е.

Для оценки стоимости опциона на отказ необходимо оценить стоимость опциона put для периода в один год на установку с ценой исполнения 120 000 у. е.

Имеется следующая информация:

1. цена исполнения 120 000 у. е.;
2. приведенная стоимость проекта без опциона на отказ 101 724 у. е.;
3. время, оставшееся до исполнения опциона, 1 год;
4. процентная ставка 16%;
5. будущая стоимость проекта при высоком спросе 150 000 у. е.;
6. будущая стоимость проекта при низком спросе 70 000 у. е.

Так как в развитии бизнеса предполагается, что возможны два результата, то для определения стоимости опциона на отказ возможно применение биноминальной модели, которую разработали У. Шарп, Д. Кокс, С. Росс и М. Рубинштейн:

Числитель этой формулы показывает ожидаемую будущую стоимость опциона на отказ от бизнеса.

Внутренняя стоимость опциона put определяется как max (0; К-S). Эта формула означает, что если бизнес будет успешным, то опцион на отказ Р обесценится.

Если же бизнес не будет успешным, то фирма исполнит опцион Р{ продав оборудование за 120 000 у. е. и сэкономив 50 000 у. е. (120 000 — 70 000).

Таким образом, стоимость опциона put:

Следовательно, стоимость бизнеса с учетом опциона на отказ возрастает на 20 819 у. е. и составляет 101 724 + 20 819 = 122 543 у. е., а величина скорректированной чистой дисконтированной стоимости дает значение 20 819 — 18 276 = 2543 у. е.

Выбор времени для осуществления инвестиций

Опционное время для осуществления инвестиций выбрать легко, если нет никакой неопределенности. Для этого вычисляют приведенную стоимость инвестиционного проекта на различные даты инвестирования и выбирают тот период времени, в котором приведенная стоимость имеет максимальное значение. Однако принцип не работает в условиях неопределенности.

Если проект не подпадает под принцип сейчас или никогда (необходимо инвестировать проект немедленно или подождать; риски, связанные с его осуществлением высоки; проект имеет положительную чистую приведенную стоимость), то возникает проблема выбора оптимального времени для осуществления инвестиций.

Решение начать или отложить осуществление инвестиций равносильно решению исполнить опцион call немедленно или подождать и исполнить его позже.

Для определения времени начала инвестирования проекта могут быть использованы биномиальные модели.

Однопериодная биномиальная модель оценки опционных контрактов call на акции, не выплачивающие дивиденды, описывается выражением:

где u — сдвиг цены акции вверх;
d — сдвиг цены акции вниз;
r — безрисковая процентная ставка (u > r > d).

Если r > u, то необходимо продать акции и инвестировать вырученную сумму под безрисковый процент r, если же d > r, то необходимо взять кредит под безрисковый процент r и купить акции.

Двухпериодная биноминальная модель оценки опционных контрактов имеет вид:

Использование биноминальной модели при разбиении временного интервала, оставшегося до исполнения опциона, на 5 периодов дает результаты, приблизительно совпадающие с результатами расчета по формуле Блэка-Шоулза.

Источник: "market-journal.com"

Описание модели ценообразования опционов

В октябре 1997 года Нобелевская премия по экономике была присуждена Роберту Мертону (Robert Merton) и Майрону Шоулзу (Myron Scholes). Комитет по назначению лауреатов выдвинул для присуждения премии еще одного ученого, Фишера Блэка (Fisher Black), но его преждевременная смерть в 1995 г. в возрасте 57 лет помешала ему разделить эту честь.

Эти три человека считаются создателями математической формулы для вычисления стоимости опционов и других производных инструментов, которая оказала огромное влияние на развитие теории и практики финансов. Эта формула сегодня широко известна как формула Блэка-Шоулза (Black-Scholes option pricing formula).

Открытие данной формулы привело к повышенному интересу к производным инструментам и взрывному росту опционной торговли. Опубликование формулы Блэка-Шоулза в 1973 г. позволило отойти от субъективно-интуитивных оценок при определении цены опционов и подвести под него теоретическую базу, применимую и к другим производным инструментам.

Для начала 70-х сама идея использовать математический подход для оценки производных инструментов была революционна. Современное управление рисками, применяемое в страховании, торговле на фондовом рынке и инвестировании, основывается на возможности использовать математические методы для предсказания будущего.

Конечно, не со 100%-ной вероятностью, но достаточно точно для того, чтобы принять взвешенное инвестиционное решение.

Основополагающий принцип работы на финансовых рынках состоит в следующем: чем больший риск вы готовы на себя принять, тем на большее вознаграждение вы вправе рассчитывать. Использование математики никогда не сможет полностью элиминировать риск, но может помочь правильно оценить степень принимаемого на себя риска и решить вопрос о справедливом вознаграждении.

Что представляет собой и как работает

Опцион рассматривается как функция следующих элементов:

• Цена базового актива и цена страйк (цена исполнения).

Наиболее важный фактор, влияющий на цену опциона — соотношение между ценой лежащего в основе опциона актива и ценой страйк. Это соотношение определяет статус опциона («в деньгах» или «вне денег») и внутреннюю стоимость опциона (величина, на которую цена базового актива выше или ниже цены страйк для опционов колл и пут соответственно).

• Время, остающееся до даты истечения опциона.

Время работает против покупателя опционов, так как цена опционов вне денег снижается ускоренными темпами с приближением даты их истечения. Этот эффект называется «разрушение временем» (time decay). Больший срок, остающийся до окончания срока действия опциона, означает большую неопределенность.

• Степень колебаний (волатильность).
Этот показатель отражает подверженность базового актива ценовым колебаниям. Величина премии по опционам в деньгах прямо пропорциональна ожидаемой ценовой неустойчивости базового актива.

• Дивиденды.

Повышенные дивиденды сокращают цену опционов колл и увеличивают цену опционов пут, потому что выплата дивидендов сокращает цену лежащих в основе опциона акций на сумму дивиденда. Дивиденды увеличивают привлекательность покупки и держания акций по сравнению с покупкой опционов колл и хранением резервов наличности.

И обратно, продавцы в короткую должны учитывать выплату дивидендов, поэтому покупка опционов пут выглядит более предпочтительной, чем короткая продажа акций.

• Уровень процентных ставок.

Растущие процентные ставки увеличивают форвардную цену базовых акций, которая рассчитывается как цена акции плюс ставка по безрисковым активам на период действия опциона. Форвардная цена в модели понимается как стоимость акции на дату истечения опциона.

Основная привлекательность опционов для покупателя объясняется тем, что ему заранее известен максимально возможный размер убытков — это величина премии, уплаченной за опцион, тогда как потенциальная прибыль теоретически неограниченна — в случае значительного роста цены базовых акций в период действия опциона, покупатель может рассчитывать на высокую прибыль.

Особенно привлекательны опционы на акции, рынок которых отличается резкими и сильными ценовыми колебаниями, например, акции компаний, производящих компьютерное оборудование и программное обеспечение. Многие нынешние миллионеры из Силиконовой долины заработали свое состояние в результате того, что реализовали полученные как часть вознаграждения опционы на акции своих молодых и динамично растущих компаний.

Вернемся к истории выведения формулы. Опционная торговля только-только получила развитие (Чикагская биржа опционов была открыта в апреле 1973г., за месяц до первого опубликования работы Блэка-Шоулза), и возможность определения справедливой цены опционов с помощью математических методов рассматривалась как иллюзорная.

Сначала эффективность и работоспособность предложенной модели ценообразования опционов вызывала сомнения даже у самых именитых трейдеров. Но математика оказалась применима, причем сложная математика, использующая такой непростой метод, как стохастические дифференциальные уравнения. Формула Блэка-Шоулза не только заработала, она привела к трансформации всего рынка.

Когда в 1973г. открылась Чикагская биржа опционов, в первый день ее работы торговалось менее 1000 опционов, а уже к 1995г. объем ежедневной торговли превысил 1 миллион опционов.

Роль, которую сыграла модель Блэка-Шоулза в развитии рынка опционов, была так велика, что, когда на американском фондовом рынке в 1978г. произошел крах, влиятельный деловой журнал Forbes напрямую возложил ответственность за него на математическую формулу.

Шоулз на это обвинение ответил, что не формулу нужно винить, а участников рынка, которые еще не достигли необходимого уровня знаний и подготовки для ее применения.

История выведения формулы началась с того, что Фишер Блэк приступил к разработке модели оценки для варрантов. Он решил использовать расчет производной для измерения того, как меняется дисконтная ставка варранта с течением времени и в зависимости от движения цены. Выведенная формула очень напоминала хорошо известное уравнение теплообмена.

После этого открытия к Блэку присоединился Майрон Шоулз, и результатом их совместной работы стала модель ценообразования для опционов. Фактически, их модель стала улучшенной версией предыдущей формулы, описанной Джеймсом Бонессом (A. James Boness) в своей докторской диссертации.

Коррективы, внесенные Блэком и Шоулзом, относились к доказательству, что процентная ставка по безрисковым активам является точным дисконтным множителем, кроме того, они ушли от допущений о предпочтениях инвесторов в отношении принимаемого на себя риска.

Формула использует четыре переменные:

1. срок действия опциона,
2. цена,
3. уровень процентных ставок,
4. степень рыночных колебаний и позволяет получить справедливую величину премии, уплачиваемой за опцион.

где C — теоретическая премия по опциону колл,
S — текущая цена базовых акций,
t — время, остающееся до срока истечения опциона, выраженное как доля года (количество дней до даты истечения/365 дней),
К — цена исполнения опциона (цена страйк),
r — процентная ставка по безрисковым активам,N(x) — кумулятивное стандартное нормальное распределение,
е — экспонента (2,7183).

где s — годовое стандартное отклонение цены базовых акций (историческая волатильность), рассчитывается через умножение стандартного отклонения цены за несколько дней на квадратный корень из 260 (количество торговых дней в году);
ln — натуральный логарифм.

Для понимания сути модели ее можно разделить на две части:

• Первая часть, SN(d1), отражает ожидаемую прибыль от покупки самих базовых акций. Расчет производится через умножение цены лежащих в основе акций [S] на изменение премии по опциону колл по отношению к изменению цены базового актива [N(d1)].
• Вторая часть модели дает приведенную стоимость цены исполнения (цены страйк) на дату истечения опциона:

Объективная рыночная стоимость опциона колл рассчитывается путем вычитания второй части формулы из первой.

Допущения

1. В течение срока действия опциона дивиденды по базовым акциям не выплачиваются.

Большинство компаний выплачивают своим акционерам дивиденды, поэтому данное допущение в модели может показаться достаточно серьезным, учитывая тот факт, что высокие дивиденды снижают величину премии по опционам колл.

Наиболее простой способ скорректировать модель в этом случае — вычесть дисконтированную величину будущих дивидендов из цены базовых акций.

2. Используются временные сроки исполнения для европейских опционов.

Европейские опционы могут быть исполнены только в день истечения своего срока, тогда как условия исполнения американских опционов позволяют исполнить опцион в любой момент срока его действия, что делает американские опционы более привлекательными из-за своей большей гибкости.

Это ограничение не является основным недостатком, потому что очень мало опционов колл, которые исполняются задолго до даты истечения своего срока.

Это верно, потому что когда вы исполняете опцион колл в начале срока действия, вы лишаетесь его остающейся временной стоимости, реализуя только внутреннюю стоимость. С приближением даты истечения опциона его временная стоимость уменьшается, тогда как внутренняя стоимость остается на том же уровне.

3. Рынки являются эффективными.

Данное допущение предполагает, что люди не могут постоянно предсказывать направление движения всего рынка или отдельной акции. Считается, что движение фондового рынка подчиняется законам непрерывного Itф процесса. Чтобы понять, что такое непрерывный Itф процесс, сначала нужно познакомиться с процессом Маркова — «наблюдение в момент времени t зависит только от результатов предыдущих наблюдений».

Itф процесс отличается от процесса Маркова только своей непрерывностью во времени. Пример непрерывности — рисование, не отрывая карандаш от бумаги. Случайное движение цены акции — одно из основных допущений модели Блэка-Шоулза.

Она строится на теории эффективного рынка, которая гласит, что ценовые колебания полностью отражают знания и ожидания инвесторов, поэтому трендовых или инерционных акций не существует (trending stock or momentum stock — акции, которые обладают сильными инерционными качествами).


Опционы, цена страйк которых близка к текущей цене базовых акций, и опционы, торгуемые в достаточно больших объемах, оценены рынком объективно. Из данного предположения можно сделать вывод: если рыночная цена опциона является объективной и справедливой, то она может быть зафиксирована в формуле Блэка-Шоулза, тогда как волатильность становится неизвестной переменной.

Поэтому многие инвесторы, занимающиеся опционами, часто принимают решение на основе предполагаемой «рыночной волатильности» (implied volatility), т.е. покупают опционы с низкой степенью колебаний и продают опционы, отличающиеся высокой ценовой неустойчивостью, а не на основе прогнозов в отношении движения базового актива.

4. Отсутствие взимаемых комиссий.

Обычно при покупке и продаже опционов с рыночных участников взимаются комиссионные. Даже трейдеры в зале биржи уплачивают своего рода комиссию, правда, очень низкую. Вознаграждения, уплачиваемые индивидуальными инвесторами, более значительны и даже могут привести к искажению результата применения модели.

5. Уровень процентных ставок остается неизменным и известен заранее.

Модель Блэка-Шоулза использует в качестве этой неизменной и известной процентной ставки ставку по безрисковым активам.

В реальности такой единой ставки по безрисковым активам не существует, и обычно в этих целях используется дисконтная ставка по казначейским векселям за 30 дней до срока погашения. В периоды быстро меняющихся процентных ставок эти 30-дневные ставки также меняются, нарушая одно из допущений данной модели.

6. Модель основывается на логнормальном распределении цен акций.

Хотя функция нормального распределения является составной частью модели, использование экспоненты делает распределение логнормальным. Проблема при использовании нормального распределения состоит в том, что оно предполагает возможность для цены акций принимать отрицательные значения.

Поэтому в случае цены акций чаще всего используется логнормальное распределение, предполагающее, что цены на акции могут принимать значения в интервале от нуля до бесконечности.

Оценка риска в операциях с опционами с использованием «греков»

Через использование формулы Блэка-Шоулза инвестор, осуществляющий операции с опционами, может оценить принимаемый на себя риск и потенциальную прибыль. Эти параметры, получаемые в результате промежуточных расчетов по формуле Блэка-Шоулза, получили название «греков», «Greeks» (по буквам греческого алфавита).

Дельта

Дельта является важнейшим промежуточным результатом формулы Блэка-Шоулза и измеряет чувствительность рассчитываемой стоимости опциона к незначительным колебаниям цены базового актива. Часто называется «хеджевым коэффициентом» (hedge ratio).

Изменяется в интервале от 0 до 1 для опционов колл и в интервале от -1 до 0 для опционов пут. Чем глубже опцион пут «в деньгах», тем ближе его дельта к -1. И наоборот, чем глубже «в деньгах» опцион колл, тем ближе его дельта к 1.

Гамма

Гамма измеряет скорость изменения дельты в результате незначительных колебаний цены базовых акций.

Гамма принимает максимальное значение, когда цена лежащих в основе опциона акций приближается к цене страйк, и стремится к нулю, своему минимуму, когда цена базовых акций начинает удаляться от цены исполнения опциона в ту или иную сторону.

Таким образом, опционы «глубоко в деньгах» или «глубоко вне денег» имеют гамму, близкую к 0. Значительное влияние на гамму оказывает время. В течение последнего месяца срока жизни опциона гамма опционов «при деньгах» почти сходит на нет.

Следовательно, риск владения опционов «при деньгах» в последние 30 дней торгов увеличивается экспоненциально. Опционы глубоко в деньгах или вне денег имеют более стабильную гамму.

Тэта

Тэта измеряет «разрушающее воздействие времени». Время — враг держателя опционов и союзник продавца опционов. При продаже опционов тэта будет принимать положительные значения.

При покупке опционов, тэта будет принимать отрицательные значения и отражать ту сумму, на которую будет снижаться цена опциона.

Например, theta равная -0.12 означает, что цена опциона будет снижаться на 12 центов в день.

Грубый расчет тэты может быть произведен путем деления временной стоимости опциона на число дней до даты истечения. Тэта долгосрочных опционов близка к 0. Краткосрочные опционы, особенно опционы at-the-money, имеют максимальные абсолютные значения тэты.

Вега

Вега — измеряет чувствительность рассчитываемой цены опциона к незначительным изменениям степени ценовой неустойчивости (волатильности). Величина премии по опциону и волатильность базовых акций изменяются в одном направлении.

Вега принимает максимальное значение для опционов at-the-money (у которых цена страйк совпадает с текущей ценой базовых акций) и стремится к 0 для опционов «глубоко в деньгах» или «глубоко вне денег».

Ро

Ро — измеряет чувствительность рассчитываемой цены опциона к изменению процентных ставок (когда процентные ставки растут, премия по опционам колл увеличивается, а по опционам пут снижается).

Ро принимает положительные значения для опционов колл и негативные — для опционов пут. Минимальное значение Ро имеют опционы «глубоко вне денег», а максимальное значение Ро — у опционов «глубоко в деньгах».

Более высокое значение Ро имеют долгосрочные опционы, тогда как у краткосрочных опционов Ро приближается к 0.

Источник: "vunt.ru"

Теория и модель Блэка-Шоулза для принятия инвестиционных решений

Обладателями Нобелевской премии по экономке в октябре 1997 года стали профессора Роберт Мертон из Гарвардского университета и Майрон Шоулз из Стенфордского университета, которые разработали модель Блэка-Шоулза, используемую для оценки опционов и впервые опубликованную в 1973 году.

Вкратце модель Блэка-Шоулза позволяет оценить «справедливую стоимость» опциона, которая рассчитывается на основании прошедшей истории актива и вероятности будущей цены опциона.

Данная формула используется в основном для принятия инвестиционных решений, так как не всегда гарантирует прибыль на торгах. Стоит отметить, что рассчитываемая «справедливая» рыночная цена опциона не всегда может совпадать с настоящим значением цены.

В простом виде модель Блэка-Шоулза рассчитывается по следующей формуле:

Цена опциона «кол» = [Ожидаемая будущая цена] — [ожидаемая стоимость исполнения опциона]

Авторы помимо этих моментов учитывают в уравнении также некоторые поправки:

• на вероятность разброса будущей цены актива,
• на вероятность более высокого исполнения цены,
• на чистое значение стоимости исполнения,
• на то, что может быть получена часть платежа по безрисковой ставке.

В итоге математически формула модели имеет вид:

где C — теоретическая цена опциона «кол»;
S — текущая цена акции;
t — время до экспирации опциона;
r — безрисковая процентная ставка;
K — страйк опциона;
e — основание натурального логарифма (2.71828).

Отдельно рассчитываются следующие пункты:

d1 =[ ln (S/K) + (r + ?2/2)*t] / [? * sqr (t)]

d2 = d1 — ? * sqr (t),

где ? — сигма, среднее квадратичное отклонение курса акции,
sqr (t) — корень квадратный от t,
ln — натуральный логарифм.

Основные результаты

Начнем с того, что модель Блэка-Шоулза утверждает, что опцион должен быть больше разницы текущей цены и цены исполнения. Эта разница появляется потому, что значение подлежащего актива в будущем может отличаться от текущей цены как в большую, так и в меньшую сторону.

Таким образом, модель Блэка-Шоулза предназначена для расчета возможного будущего значения подлежащего актива, что позволяет оценить справедливую стоимость опциона. Будущим значениям цены назначаются определенные вероятности, которые модель Блэка-Шоулза включает в текущую цену.

В этом случае проблемой является тот факт, что нельзя точно предсказать будущее значение цены, поэтому модель Блэка-Шоулза лишь предполагает, что для цены можно использовать логнормальное распределение вероятности.

Высота и разброс вероятности определяется сигмой (волатильностью), которая рассчитывается по историческим данным. При этом считается, что вероятность сильного различия цены в момент экспирации тем больше, чем выше волатильность данной акции.

Компенсируется это продавцами за счет большего получения за опцион, а покупателями за счет большей оплаты за возможность. В итоге получается, что прогнозируемое значение будущей цены определяется историческими данными. В этом плане модель Блэка-Шоулза обладает теми же проблемами, что и технический анализ, т.е. прошлое не всегда может определить будущее.

Способы использования

В основном модель Блэка-Шоулза используется в следующих случаях:

1. для поиска недооцененных опционов для продажи и переоцененных опционов для покупки;
2. для хеджирования портфеля, что позволяет снизить риски в случае низкой волатильности;
3. для оценки рыночных предпосылок по будущему значению волатильности.

Как правило, модель Блэка-Шоулза используется трейдерами для сравнения текущих и теоритических значений цен на опционы.

Если теоритические значение не совпадает с текущим и разница между ними больше, нежели стоимость заключения сделки, то трейдеры применяют тактику арбитража на этой разнице.

Однако, в основе модели лежит теория, которая предполагает отсутствие возможности арбитража. В связи с этим, по факту модель Блэка-Шоулза использует несколько человек, которые находят и вытесняют ситуации на рынке с арбитражем. Стоит отметить, что данное предположение считается вполне оправданным.

Еще один способ использования модели основан на вычислении для портфеля акций позиций хеджирования. В связи с тем, что колебания цен опционов совпадают с ценой акции, то продажа опционов позволяет уравновесить потери от акции. Для этого применяется модель Блэка-Шоулза, которая определяет число опционов на продажу для достижения желаемой волатильности.

Помимо этого модель Блэка-Шоулза применяется для расчета рыночных предпосылок для волатильности (сигма). В этом случае предполагается, что рынок правильно оценил опционы, поэтому из формулы спокойно можно найти рыночную оценку нижней и верхней границ цены акции в будущем.

Из этих значений строятся узкие кривые распределения, которые увеличивают вероятность приближения теоретической цены к ее будущему значению. Другими словами, чем выше «кол», тем больше различия в ожидания цены.

Также стоит отметить, что в случае переоценки опциона модель Блэка-Шоулза применяется для поиска количественных вероятностей, которые определены рыночными ожиданиями. Несмотря на то, что трейдеры в основном используют один алгоритм модели, в формулу могут подставляться различные значения. Сигма рассчитывается по предыдущим рыночным данным, которые могут браться с любого момента.

Как правило, расчет ведется по данным за последний год, поэтому использования более короткого или длительного временного интервала приводит к различным результатам. В результате получается, что модель Блэка-Шоулза никак не может стать панацеей для трейдеров, она выступает лишь в качестве очень ценного инструмента, позволяющего оценить опционы и рыночные ожидания.

Коэффициенты греческой таблицы

При определении модели Блэка-Шоулза возникает необходимость расчета величины дельты. Данная величина определяет меру сдвига цены опциона в случае небольшого изменения цены базового актива.

К примеру, в случае роста базового актива на 1 цент, опцион с дельтой 0,5 увеличится на полцента.

Если опцион не выражен в деньгах, то его дельта приближена к нулю, а если он выражается в деньгах, то значение дельта близко к 1.

Дельта Европейского опциона на бездивидентные акции определяется по следующей формуле:

Delta = N(d1)

Позитивное значение называется кол дельта, а негативное — пут дельта, которое отображает противоположную зависимость цены базового актива и цены опциона пут. Пут дельта рассчитывается как кол дельта в степени -1.

Дельта также называется нормой хеджирования. Допустим, у вас имеется портфель с n короткими опционами, т.е. вы продали n колл опционов. В этом случае, если умножить n на значение дельты, то можно получить количество акций, которые потребуются для создания безрисковой позиции. При этом стоимость портфеля не измениться даже в случае небольшого роста или падения цена акции.

В результате создается «дельта нейтральный» портфель, у которого убыток от роста стоимость проданного колл опциона будет компенсироваться ростом цены акции. Дельта меняет своей значение в зависимости от цены акции и оставшегося времени до экспирации.

Скорость изменения дельта определяется коэффициентом гамма, для расчета которого также используется модель Блэка-Шоулза.

Для построения опционных стратегий используются коэффициенты греческой таблицы, расчет которых основан на модели Блэка-Шоулза:

• Дельта мы уже рассмотрели.
• Также существует коэффициент гамма, который является мерой скорости изменения дельта по отношению к изменению цены базового актива.
• Коэффициент вега является мерой изменения цены опциона по отношению к изменению волатильности на один процентный пункт.
• Коэффициент тэта является мерой изменения цены опциона по отношению к изменению времени, оставшегося до экспирации.
• Коэффициент ро является мерой цены опциона по отношению к изменению безрисковой процентной ставки.

Источник: "forex-traider.ru"

Ценообразование опционов и корпоративные обязательства

Модель Блэка Шоулза для расчета стоимости опционов была впервые опубликована в 1973 году, в статье под названием «Ценообразование опционов и корпоративные обязательства» в журнале «Политическая экономика». Знаменитая формула Блэка Шоулза была открыта тремя экономистами — Фишером Блэком, Мирном Шоулзом и Робертом Мертоном. Данная модель и формула до сих пор являются самым знаменитым в мире инструментом оценки ценообразования опционов.

Фишер Блэк скончался за два года до того, как Р. Мертон и М. Шоулз получили Нобелевскую премию по экономике (в 1997 году) за свой уникальный метод нахождения стоимости финансовых инструментов (по правилам, Нобелевская премия выдается только при жизни, тем не менее роль Фишера Блэка в создании модели Блэка Шоулза была отмечена комитетом).

Модель Блэка Шоулза используется для расчета теоретической стоимости Европейских опционов пут и кол (опцион пут — опцион на продажу, опцион кол – опцион на покупку).

Данная модель игнорирует выплачиваемые дивиденды по акциями на протяжении всего времени существования опциона.

Модель блэка Шоулза в оригинале не учитывала эффект выплаты дивидендов во время существования опциона, тем не менее модель может быть адаптирована и видоизменена путем нахождения «после дивидендной стоимости» связанной с опционом акции.

Модель Блэка Шоулза имеет некоторые допущения и предположения:

1. Оцениваемые опционы являются европейскими и право покупки/продажи может быть применено только в день экспирации (последний день существования опциона).
2. Дивиденды во врем существования опциона не выплачиваются.
3. Финансовые рынки являются полностью эффективными, то есть участники рынка не могут предугадать рыночные колебания.
4. Не существует комиссий и других транзакционных издержек.
5. Безрисковая процентная ставка и волатильность соответствующих опционам акций известны и постоянны (константы).
6. Стоимость опционов следует логарифмическому распространению, то есть доходность соответствующих опционам акций имеют функцию нормального распространения.

Формула для оценки кол опциона

Формула Блэка Шоулза учитывает следующие переменные:

• Текущая стоимость акции.
• Страйковая цена опциона (цена покупки/продажи акции по существующему опциону).
• Время до даты экспирации (даты окончания срока действия опциона), выраженное в процентах от года.
• Волатильность соответствующей опциону акции.
• Безрисковая процентная ставка.

Формула Блэка Шоулза (для оценки кол опциона):

где С — кол премиум (стоимость опциона на продажу),
S — текущая рыночная цена соответствующей опциону акции,
К — страйковая цена опциона,
t — время до экспирации опциона, выраженное в годовой пропорции (время до окончания существования опциона),
r — безрисковая процентная ставка,
N — суммированное стандартное распространение (можно найти в таблицах стандартного распространения),
e — экспоненциальный логарифм,
s — стандартное отклонение акции (волатильность),
ln — натуральный логарифм.

Модель условно разделена на две части:

1. первая — SN(d1), умножение текущей рыночной стоимости акции на изменение в кол премиуме в пропорции к изменению цены соответствующей акции. Эта часть формулы показывает ожидаемую пользу от покупки акции в данный момент времени.
2. Вторая часть формулы показывает текущую стоимость уплаты страйковой цены за акцию в день экспирации (модель Блэка Шоулза относится только к Европейским опционам, где право использования опциона возможно только в день экспирации):

Стоимость опциона рассчитывается путем вычитания второй части уравнения от первой.

Заключение

Математика, используемая в формуле Блэка Шоулза не всегда понятна людям, не имеющим специального образования. Тем не менее, у трейдеров и инвесторов нет необходимости знать и понимать математику для того, чтобы использовать формулу Блэка Шоулза для построения моделирования их инвестиционной стратегии.

Опционные трейдеры чаще всего имеют доступ к автоматизированным онлайн – калькуляторам стоимости опционов и многие торговые площадки включают в себя множество инструментов для анализа.

Такие инструменты как различные индикаторы, электронные таблицы и онлайн – модели автоматически рассчитывают стоимость опционов.

Источник: "investocks.ru"

Механизм действия формулы Блэка-Шоулза

Давным давно движимое страхом перед будущим человечество придумало механизм страхования. Страхование – это когда ты платишь некоторую сумму (премию), а взамен, при наступлении некоторых событий в будущем, тебе выплачивают другую сумму (компенсацию).

Обычно компенсация много больше премии, но это необязательно. Частным случаем такого страхования является опцион – страховка в мире ценных бумаг.

Опцион (колл) – это договор между страхователем (покупателем опциона) и страховщиком (продавцом опциона), заключающийся в том, что у покупателя есть право, но не обязанность, купить у продавца оговоренное при договоре количество акций по оговоренной при договоре цене (страйк) в течение оговоренного при договоре периода.

Как нетрудно понять, по истечении периода покупатель воспользуется своим правом, только если цена акции в момент окончания периода будет больше страйка. Эта ситуация может быть изображена на плоскости “Цена акции–Финансовый результат стратегии”, например, для покупателя опциона колл картинка (стратегия) будет такой:

Здесь K – цена страйк опциона,
P – премия,
S – цена акции в момент покупки опциона.

Поскольку эта линия не является прямой, то опционы называют нелинейными инструментами, в отличие от акций и фьючерсов, для которых стратегии – просто прямые линии.

Все вроде понятно, но остается один вопрос – сколько должен стоить опцион. Ясно, что ноль он стоить не может, – его просто так никто не продаст. Очень много он тоже стоить не может – его никто не купит. Вопрос: сколько?

Однозначного ответа на этот вопрос дать нельзя, как нельзя дать ответ на вопрос, сколько должна стоить та или иная акция. Однако есть хороший и понятный подход к определению цены опциона. Он заключен в следующем: справедливая цена опциона будет такой, чтобы и продавец и покупатель в среднем получали ноль по окончании периода действия опциона.

Именно на таком рассуждении и основан один из лучших результатов финансовой математики – формула Блэка-Шоулза. Несмотря на ее сложный вид, она получается очень просто. Сейчас я попытаюсь немного подробнее пояснить механизм ее получения.

Итак, мы нарисовали стратегию (см. рисунок выше), но она определена не полностью – картинка может ездить вверх/вниз из-за неопределенной премии. Премию нужно выбрать так, чтобы покупатель в среднем получил ноль. Пусть вероятность цене принять значение x по окончании периода равна r(x), а линия стратегии (ломаная на рисунке) описывается уравнением y=f(x).

Тогда средняя прибыль покупателя равна сумме (по всем x) от f(x), умноженной на r(x). Поскольку x может меняться непрерывно, то это есть интеграл по всем ценам от f(x)*r(x). И равенство нулю этого интеграла даст нам справедливую премию опциона. Все это изображено на следующем рисунке:

• Красная линия – стратегия покупки опциона колл,
• синяя – распределение цен,
• зеленая – произведение красной на синюю.

Равенство нулю интеграла от этого произведения означает, что площадь под правой (положительной) частью зеленой кривой равна площади над левой (отрицательной) частью этой кривой.

Для количественного расчета нужно знать r(x). Блэк и Шоулз сделали предположение о случайном нормальном блуждании логарифма цены. Я не буду здесь обсуждать применимость такого приближения, скажу лишь, что в качестве нулевого приближения это вполне оправданно. В этом случае сама цена описывается логнормальным законом распределения.

Таким образом, известна и стратегия f(x) и распределение цены акции в конце периода r(x). Беря интеграл от произведения (в общем, несложный), можно получить простейшее уравнение на премию, из которого и получается формула Блэка-Шоулса C=SN(d1)-KN(d2).

Выводы

Формула Блэка-Шоулса – это очень красивый и полезный результат, имеющий ясный и понятный физический смысл — безвыигрышность (и беспроигрышность) стратегии.

Никакие хитрые опционные стратегии не дают статистического преимущества (по крайней мере, в рамках теории Блэка-Шоулса).

Источник: "anatoly-utkin.livejournal.com"

Содержание:

• 1 Модель ценообразования Блэка–Шоулза
  • 1.1 Описание
  • 1.2 Шесть допущений теории
  • 1.3 Формулы
  • 1.4 «Греки»
• 2 Формула Блэка-Шоулза — новый принцип оценки капитальных вложений
  • 2.1 Адаптация модели к материальным объектам инвестирования
  • 2.2 Опцион на продолжение инвестиций
  • 2.3 Опцион на прекращение бизнеса
  • 2.4 Выбор времени для осуществления инвестиций
• 3 Описание модели ценообразования опционов
  • 3.1 Что представляет собой и как работает
  • 3.2 Допущения
• 4 Оценка риска в операциях с опционами с использованием «греков»
  • 4.1 Дельта
  • 4.2 Гамма
  • 4.3 Тэта
  • 4.4 Вега
  • 4.5 Ро
• 5 Теория и модель Блэка-Шоулза для принятия инвестиционных решений
  • 5.1 Основные результаты
  • 5.2 Способы использования
  • 5.3 Коэффициенты греческой таблицы
• 6 Ценообразование опционов и корпоративные обязательства
  • 6.1 Формула для оценки кол опциона
  • 6.2 Заключение
• 7 Механизм действия формулы Блэка-Шоулза
  • 7.1 Выводы